Board index Computation of Series Series #45

Series #45

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Moderators: galactus, sos440, zaidalyafey


Post Sun Jul 12, 2015 11:42 am

Posts: 14
Find the sum.
(Actually it is product)
\(\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\sin \left ( \frac{k\pi}{n} \right )\)

Possible Hint: See the symmetry in the expression.

Thank You.

Post Fri Jun 02, 2017 6:08 am

Posts: 5
Se llamará $A$ al producto de los senos (el lado izquierdo)
Hay una hermosa igualdad:
$i^{3n+1}\cdot \exp\left(\dfrac{i\pi (n-1)}{2}\right)=1$

(esto no es directo, pero analizando los casos de n en módulo 4, la conclusión es inmediata)

Ahora, sea $f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x^2+x+1$
Luego:
$f(x)=\dfrac{x^n-1}{x-1}=\dfrac{(x-\omega )(x-\omega ^2)\cdots (x-\omega ^{n-1})(x-1)}{x-1}=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left(x-\omega ^K\right)$[/tex]
Por lo tanto:
$\boxed{f(x)=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left(x-\omega ^K\right)}$


Se entiende por $\omega ^K$ (con K natural menor que n) a las raíces n-ésimas de 1, por lo que:
$\omega ^K=\exp\left(\dfrac{2\pi Ki}{n}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)$

Pero sabemos por propiedades del ángulo doble:
$\cos\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)=1-2\sin^2\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)+2i\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)$

Cambiando signo, sumando 1 a cada lado, y factorizando el lado derecho:
$\boxed{1-\omega ^K=2\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cdot \left(\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\right)}$


Tenemos, por una parte:
$n=\displaystyle\underbrace{1+1+\ldots +1+1}_{n\ veces}=1^{n-1}+1^{n-2}+\ldots +1^2+1+1=f(1)$

Por otra parte:
$f(1)=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left(1-\omega ^K\right)=\prod_{K=1}^{n-1}\left[2\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cdot \left(\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\right)\right]=$

$=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}2\cdot \displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cdot \displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left[\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\right]=$]

$=2^{n-1}\cdot A\cdot \displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left[(-i)\cdot \exp\left(\dfrac{\pi Ki}{n}\right)\right]=2^{n-1}\cdot A\cdot (-i)^{n-1}\cdot \exp\left(\dfrac{\pi i}{n}\cdot \dfrac{(n-1)n}{2}\right)=$

]$=2^{n-1}\cdot A\cdot \displaystyle\underbrace{i^{3n+1}\cdot \exp\left(\dfrac{i\pi (n-1)}{2}\right)}_{1}=2^{n-1}\cdot A$

Como conclusión:
$n=2^{n-1}\cdot A\Longleftrightarrow \boxed{A=\dfrac{n}{2^{n-1}}}$

This solution is in a forum of chile
Regards


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